O provocare pentru vremurile noastre: predarea geometriei

Dacă subiectul nu mi s-ar părea important pentru România anului 2012, nu m-aş gîndi să propun o astfel de temă cititorilor Timpului. Sînt perfect conştient că avem o concurenţă serioasă pe toate canalele mass media, dar lucrurile acestea ar merita spuse; o voi face aici, în chip de istorie personală. Am început să predau la California State University din Fullerton în toamna anului 2002. Pe atunci nu ştiam foarte multe despre California, dar pe măsură ce am început să înţeleg ce rol important are sistemul universităţilor de stat pentru societatea Californiei, contextul universitar mi s-a părut tot mai interesant. Unul dintre cursurile pe care le aveam de predat a fost cel de Fundamentele geometriei. Cursul fusese gîndit în urmă cu cinci decenii pentru a răspunde nevoilor studenţilor cu specializare în matematică pură, dar între timp dinamica audienţei cursului se schimbase: majoritatea studenţilor care optau pentru acest curs erau interesaţi de o specializare în didactică matematică. Aşadar, nu era vorba de viitori cercetători, ci de viitori profesori de liceu. Cursul fusese predat pentru multă vreme, înainte să încep să-l predau eu, după un manual interesant, care includea între altele elemente de trigonometrie sferică, geometrie proiectivă şi calcul vectorial pentru a ajunge să expună idei pe care le regăsim şi-n geometria de care avem nevoie pentru a înţelege teoria relativităţii. Am folosit acel manual în primăvara lui 2003 şi l-am găsit superb, după gustul meu, dar parcă ceva îi lipsea. Mi s-a părut că studenţii îl găsesc prea abstract, că nu erau motivaţi să studieze de conţinutul materiei. Îmi place să propun studentului la curs toată argumentaţia şi să ofer toată motivaţia de a se familiariza cu materia, pe care o doresc cît mai utilă în viitoarea profesiune a studentului. Cel mai bine se lucrează atunci cînd studenţii înţeleg că materia discutată la curs le serveşte în viitoarea lor meserie, cînd sînt convinşi că materialele cursului sînt actualizate şi că referinţele sînt la zi.

O haină nouă pentru povestea geometriei

Am început să discut cu studenţii şi să-i întreb ce i-ar interesa cel mai mult. Pentru studenţii care îşi propuneau să devină profesori de şcoală generală sau de liceu, fundamentele geometrice ale teoriei relativităţii erau o curiozitate interesantă, dar nu mai mult de atît. {i atunci, ce cale ar fi trebuit să adopt? Era clar că acel conţinut al cursului care se potrivea în 1985 avea o problemă de credibilitate a discursului în 2003, pentru că motivaţiile studenţilor erau acum altele. Există o dinamică a interesului universitar pe care, dacă eşti atent, o poţi înţelege în sala de curs. Am schimbat întreaga viziune a cursului, alegînd ca manual o carte foarte interesantă şi recentă, axată în principal pe geometria neeuclidiană, mai precis pe semiplanul hiperbolic al lui Poincaré. M-am gîndit că dacă studenţii mei de azi sînt viitori profesori de liceu, o analiză aprofundată a contextului logic (aşa cum geometria neeuclidiană ne permite să discutăm) ar putea fi cea mai interesantă extensie a culturii lor matematice. Am fost aşa de mulţumit de abordare, încît am predat cursul cu acest punct de vedere în 2004 şi am repetat experienţa şi în primăvara lui 2005. Către finalul cursului foloseam pentru a modela geometria hiperbolică numere complexe, într-o abordare destul de tehnică, şi pe care am prezentat-o în detaliu. Din punct de vedere matematic era cea mai naturală abordare. Dar şi aici am simţit că, pe studenţii care se pregăteau pentru a deveni profesori de liceu, partea aceasta a cursului îi atrăgea cel mai puţin. Am analizat din nou toate manualele care erau disponibile, am început să citesc şi să studiez foarte mult. Fiecare curs poate fi prezentat în foarte multe feluri, dar eu îmi doream exact acel punct de vedere pentru fundamentele geometriei care să servească cît mai mult. Doream un curs în care fiecare oră să fie utilă şi interesantă. Văzusem un astfel de curs predat la Bucureşti de regretatul profesor Laurenţiu Panaitopol, cursul de metodică a predării matematicii. După ce terminasem facultatea la Bucureşti, predasem seminarul acestui curs în toamna anului 1995. Acum aveam nevoie de o idee care să fie utilă studenţilor din California. Abia în primăvara anului 2006 am găsit soluţia ideală şi ea a fost prilejuită de publicarea cursului de fundamentele geometriei scris de Gerard Venema, pe care l-am suplimentat cu o discuţie pe lucrările originale. Am pornit de la următoarea premiză. În fond, de ce studiem geometria? De ce este importantă geometria pentru învăţămîntul general? Nu pentru a lucra în viaţa reală cu triunghiuri şi cercuri: reprezentarea lor în lumea reală nu ne ajută prea mult. Ci pentru că geometria reprezintă cel mai bun antrenament al logicii. Nu avem nevoie de nimic care să poată fi privit de studenţi drept o complicaţie artificială. Cursul meu trebuia să fie o poveste întreagă, care să includă tot conţinutul logic şi felul cum geometria antrenează intelectul pentru exerciţiul raţionamentelor formale. Povestea pe care am spus-o la curs începe astfel. În cea de-a doua jumătate a secolului al XIX-lea, mai mulţi matematicieni au observat că sistemul axiomatic prezentat în Elementele lui Euclid nu e perfect. Mai precis, conţine erori de demonstraţie, greşeli de logică, afirmaţii care nu rezultă din premizele considerate. Faptul în sine e surprinzător, pentru că vreme de mai bine de două mii de ani Elementele lui Euclid au reprezentat referinţa primară în geometrie. {i, cu toate acestea, construcţia aceea nu fusese impecabilă. Prima unitate a cursului meu trebuia, aşadar, să detalieze structura sistemului axiomatic al lui Euclid şi erorile pe care acesta le conţine, cu trimitere la referinţele originare la textele lui Peano şi Pasch. Apoi, în chip de fericită întorsătură a situaţiei, trebuia povestit cum David Hilbert a construit, în ultimul deceniu al veacului XIX, primul sistem axiomatic al geometriei lipsit de lacune logice. Cursul meu trebuia să includă şi o prezentare a acelei extraordinare contribuţii.

Puncte de vedere utile şcolii de azi

În anii de după primul război mondial, în Statele Unite a apărut nevoia de a prezenta publicului extins sistemul axiomatic al lui Hilbert. Încercînd să explice acest subiect, G. D. Birkhoff a observat că abordarea lui Hilbert este dificilă şi greu de comunicat. Sistemul lui Hilbert avea nu mai puţin de douăzeci de axiome şi necesita o subtilitate logică pentru care era nevoie de o experienţă pe care de multe ori studenţii nu o au. Astfel, Birkhoff a înţeles că ar fi mare nevoie de un sistem axiomatic mai simplu, conceput pentru a fi predat în liceu. Creaţia lui Birkhoff, un nou sistem de axiome pentru geometria plană, a fost aşadar rodul unui deceniu de reflecţie. Lucrarea în care el a expus şi prezentat acest sistem axiomatic fost publicată la începutul anilor treizeci în Annals of Mathematics şi a devenit, vreme de aproape trei decenii, cea mai importantă referinţă în materie de predare a fundamentelor geometriei pe înţelesul unui public cît mai larg. Avantajul sistemului axiomatic al lui Birkhoff era că folosea numai patru axiome şi, tocmai de aceea, avea o structură foarte simplă. Dar şi acest sistem dădea naştere unor dificultăţi tehnice, pe care eu le-am ilustrat la curs, trecînd în detaliu prin cele mai interesante demonstraţii. Am arătat că aşa se preda geometria în anii patruzeci, după ce Birkhoff şi-a publicat manualul, care s-a bucurat de atenţie şi a fost la vremea lui (a apărut în 1940!) foarte util. Cu abordarea aceasta, studenţii mei au început să fie realmente interesaţi: le expuneam istoria predării geometriei în Statele Unite. Era istoria meseriei lor, era exact ceea ce le-ar fi fost cel mai util. Abia la finele anilor cincizeci, Saunders MacLane, care era un experimentat cercetă tor interesat de problemele educaţiei, a revăzut sistemul axiomatic al lui Birkhoff şi a propus un nou sistem axiomatic. Această revizitare a fundamentelor geometriei pentru a servi mai bine nevoilor şcolii avea să producă o adevărată revoluţie în materie de educaţie: după publicarea contribuţiei lui MacLane, abordarea asupra geometriei a fost ideală (în sensul că sistemul axiomatic prezentat publicului larg era corect din punct de vedere logic şi în acelaşi timp devenise accesibil şi liceenilor, ceea ce nu cred că se poate spune despre sistemul axiomatic al lui Hilbert). Primul manual scris în acest spirit a fost cel al lui Edwin E. Moise. Cititorii Timpului care au avantajul de a-şi aminti manualul românesc de Geometrie de clasa a IX-a din anii optzeci se pot considera fericiţi: acel manual era scris în spiritul abordării axiomatice a lui Edwin E. Moise. Manualul românesc îţi indica sursa încă din primele rînduri ale Cuvîntului înainte. Odată ajuns aici cu prezentarea istorică, cursul nostru îşi putea permite luxul de a deveni mai tehnic, de a considera un set de axiome, cel urmat de manualul recent scris de Gerard Venema (a cărui a doua ediţie a apărut în 2012), şi de a urma apoi toate demonstraţiile, la un nivel de rigoare care de obicei nu e acoperit de manualele de liceu. Pentru că, asta trebuie spus, sînt lucruri subtile care ţin de fundamentele geometriei şi care au nevoie de demonstraţie riguroasă. Mai mult de atît, la curs trebuie arătat cum anume abordările de azi repară lacunele logice pe care sistemul axiomatic al lui Euclid le conţinea. Matematicile elementare sînt matematici de întemeiere, scria undeva Dan Barbilian, şi ştia bine ce spune. Barbilian îl audiase pe David Hilbert, la cursul de fundamentele matematicii, în toamna anului 1921, şi întî lnirea aceea nu avea să fie fără urmări pentru formaţia celui care avea să predea în anii treizeci fundamentele matematicii la Universitatea din Bucureşti.

Geometria în secolul douăzeci şi unu

De ce am ţinut să comentez aceste lucruri în Timpul? Pentru că ceea ce se petrece în ultima vreme în multe sisteme şcolare din întreaga lume nu e de bun augur. A renunţa la punctul de vedere axiomatic în geometrie în favoarea unui mixaj (facil!) de geometrie analitică şi algebră este, pentru şcoala românească, o catastrofă. Geometria nu ar trebui privită drept un suport pentru materiile inginereşti, ci e mult mai folositoare dacă îşi reia rolul de cîmp de antrenare a logicii. Obiectele ei de studiu sînt naturale şi familiare (ne putem lesne reprezenta unghiuri şi drepte), definiţiile nu sînt deloc complicate, toate premizele şi ipotezele se pot descrie complet, demonstraţiile sînt simple şi pot fi înţelese vizual. Mai mult încă, demonstraţiile au nevoie uneori de o idee netrivială, şi tocmai folosirea acelui pas calitativ reprezintă exerciţiul care pune în valoare natura argumentaţiei. Din pricina aceasta ar fi nevoie acum, mai mult ca oricînd, de punctul de vedere axiomatic asupra geometriei, iar nu de o barbarie calculatorie, după cum tot Barbilian scria altundeva. Nu voi insista aici asupra detaliilor tehnice ale cursului meu, asupra elementelor de geometrie avansată euclidiană sau hiperbolică pe care le demonstrez în partea finală a semestrului. Dar aceasta e povestea cursului de fundamentele geometriei pe care-l susţin la Cal State Fullerton în fiecare primăvară. Încheierea acestui articol va fi o întrebare: dacă în anii şaptezeci şi optzeci geometria se preda inteligent în liceele din America de Nord şi Europa, ce s-a întîmplat oare cu abordarea aceea de a fost înlăturată în favoarea unor diluări care nu reţin valoarea educativă a ideii originale?

* Bogdan Suceavă este corespondent extern al revistei Timpul la Los Angeles. Cel mai recent volum al lui este romanul Noaptea când cineva a murit pentru tine, apărut la Editura Polirom în 2010. La Editura LiterNet, i-au apărut volumele de poezie: Bătălii şi mesagii şi Năluci şi portrete, precum şi volumele de proză scurtă: Bunicul s-a întors la franceză şi Imperiul generalilor târzii şi alte istorii.